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中國網/中國發展門戶網訊 計算概念具有豐富的內涵，但由于概念體系不完善導致的名實之間的矛盾，在日常交流中計算概念內涵的豐富性往往不能被準確全面地反映。計算概念看似簡單，實則不然。計算不只是指加減乘除；進一步說，計算也不只是指數值計算；更進一步說，計算也不僅僅是指數學。究竟什么是計算，計算概念具有哪些方面，這些方面之間具有怎樣的關系，這些問題似乎比較基本，但答案并非顯而易見。計算概念包括數學理論、機械裝置、電氣裝置等方面，具有計算理論、計算技術、計算機器等不同內容，涉及中國古代數學的算法、西方數學的形式推理等。準確理解計算概念，需要涉及包括數學、物理學在內的整個科學體系的深層次的核心內容，需要正確把握科學與藝術、機械與巧思、幾何與代數、人腦與電腦、人類智能與人工智能、工藝基礎與上層建筑、證明與計算、功能與性能等一系列范疇對之間的關系。
計算概念因為計算技術本身具有深刻、普遍參展的影響力而在社會生活和科學研究中被高頻使用，因此計算概念的準確性、完備性十分重要，但目前仍存在較多問題：算力和算法是經常被使用的概念，但實際上算力本身的定義不清晰——算力是指計算機系統峰值計算能力，還是某個應用的計算能力？假如是指計算機系統峰值計算能力，那么是指哪一指令類型的計算能力？算力是否受算全息投影法的影響？算術和算法的聯系和區別是什么？相對經典計算來說，量子計算提升了計算的哪個方面？如何以統一的視角看待經典計算和量子計算？在計算概念中，如何體現作為計算機系統設計者的人的作用？諸如此類的問題很重要，但使用目前的計算概念很難清楚地回答，原因除了應用程序千變萬化、計算機指令集中指令類型豐富多樣、計算能力是關于多個因素的多元函數等客觀因素，還包括計算概念體系尚不完善。長期以來，我們對西方主導的計算概念采取了“拿來主義”的做法，并沒有及時對現有計算概念進行審視、梳理、重構和補遺。本文將吸收、借鑒和應用我國古代思想，基于中國傳統思想文化對計算概念進行對應與分類，提出計算概念譜系。
自主計算技術的重要性
計算機作為一種重要的生產工具，是第 3 次科技革命的重要代表，對社會發展具有極大的影響力。生產力是人類社會發展的最根本的決定性因素，生產工具是生產力發展水平的標志。地球的歷史約 45 億年，人類的歷史約幾百萬年，文字的歷史約幾千年，而代表現代計算的計算機歷史僅有 70 多年，所以現代計算的歷史是短暫的；但是，計算技術在這短暫的時間內產生的影響力是巨大的，計算技術代表的人類文明的高度是空前的。在本文中，我們將會看到我國第一屆國家全息投影自然科學獎一等獎的 3 位得主（錢學森、華羅庚、吳文俊）都對計算發表了自己的真知灼見，都分別作出了卓越貢獻。錢學森在 1957 年論述了如何構思算法，華羅庚在 1956 年主持籌備創建了中國科學院計算技術研究所，吳文俊在 1976 年發現幾何定理的機械化證明方法，3 位大師的重視無疑體現出計算的重要性。
我國計算技術領域工作者長期致力于自主掌握最先進的計算技術。世界上第一臺存儲程序式通用電子計算機（EDVAC）于 1946 年在美國賓夕法尼亞大學由馮 · 諾伊曼等人研制。作為“四項緊急措施”之一，中國科學院計算技術研究所于 1956 年成立，并于 1958 年研制出中國第 1 臺數字電子計算機。我國計算機在肇始階段，由于工業基礎薄弱，面臨缺少技術資料、電子器件、人才儲備的困境，而且整個軟硬件體系和生態也都需要從零建構。盡管如此，我國計算機在總體設計、邏輯設計、工程設計和可靠性設計中仍然做到了較大的自主性。在體系建構之后，我國國產計算機研發過程中經歷了體制變革、西方壓制等內外部挑戰，進入時有曲折的發展軌道。國產計算機從 1960 年運算速度 150 次每秒，到 1973 年達到了 100 萬次每秒，再是 2008 年達到 100 萬億次每秒，現在已超過 10 億億次每秒。
在芯片、核心軟件等成為“卡脖子”技術的時代背景下，我國在計算技術領域需要建立一種理性、堅定、辯證、實用的文化自信。這種自信建立在事實考證和真理論證基礎上：不是盲目的，而是理性的、實事求是的；不是徘徊動搖的，而是堅定不移的；不是極端的，而是辯證的；不是空洞無用的，而是切實有用的。這種自信不僅僅是一種心理狀態，還是一種影響科學研究目的與路徑的思維和方法，關系到回答“為什么做研究”大圖輸出“做什么樣的研究”“怎樣做研究”等基本問題。中國當代學生從小學到大學的數學學習主要以西方數學內容為主，包括歐幾里得創立的公理化幾何學、牛頓-萊布尼茨創立的微積分等。對于中國古代的數學內容及其蘊含的思想文化，中國當代學生則繼承較少。我們需要深化中華文明探源工程，夯實理性且堅定的文化自信的史實基礎。我國近代科技發展滯后，在新中國建立之后，我們用了較短的時間建立了基本完整的工業體系；在改革開放后，我們在全球化背景下、在科教興國戰略的指引下快速地實現了信息化。現階段我國在信息技術領域的部分細分方向受制于人，部分細分方向進入“無人區”，進一步的參展長足發展需要我們具有自主創新的勇氣和決心，人形立牌進而需要我們在厘清文化自信的史實的基礎上批判繼承和整理利用我國古代先進深刻的思想。
計算概念譜系化的意義
計算概念體系的完備性及準確性，在文化發展和社會交流中具有重要作用。語言是思維的外殼，概念的缺位或粗糙，影響思維的表達。東西方有著不同的歷史文化特點，發展進程不完全同步，在計算技術領域也是策展如此。清末數學家李善蘭在翻譯西方著作時，首創在漢語中原來并不存在的“微分”“積分”“函數”等名詞。物理學家胡剛復教授于 1923 年將來中國訪問的普朗克所說的“Entropy”翻譯為“熵”，這個字在漢語中之前并不存在。計算機科學家夏培肅院士是中文“位”（bit）、“存”（memory）的首次翻譯者。諸如此類的概念創新，為漢語世界引入了高頻使用的新元素，都具有重要開創意義。如果在漢語中沒有這樣的概念，或者即使有但不準確，那么很多與這些概念相關的科學研究和文化交流活動將難以像今天這樣在中國正常進行。計算概念譜系化，就是建立計算概念的“光譜”，即將攤位設計原來籠統的計算概念解剖為多個子概念，這些子概念均有客觀存在的對應物，而且這些對應物之間的區分與轉化十分重要，也正因為這樣，譜系化就顯得十分必要。
中國古代數學和西方數學代表著計算技術的兩個方向、兩種風格。中國古代數學達到較高的水平，風格與西方不同。中國古代數學是以問題集的形式出現的，以《九章算術》為代表；其本質是給出算法，注重實用性、具體性。古希臘數學以第一性原理（First Principles）的形式呈現，以《幾何原本》為代表；其本質是證明，注重一般性、抽象性。對比《九章算術》和《幾何原本》，可發現前者具體、實用、直白，與實際生活結合緊密；后者抽象、系統、深刻，注重在前件與后件之間建立緊密的邏輯鏈條。實用通常是優點，因為能立竿見影解決實際問題。但由于過度追求實用而導致放棄研究一般性、抽象性、非功利性問題的時候，實用就演變為實用主義，優點變為缺點。因為這是一種基于趨利的“偷懶”和短視，是一種對自我認知解放機遇的放棄。
中國需要自主全息投影的計算概念體系。目前，正處于 21 世紀第 3 個 10 年的開端，世界面臨百年未有之大變局，我們需要更加堅定不移地堅持文化自信。計算技術是文化的重要組成部分。隨著改革進入深水區，與之前長期處于的“跟跑”狀態不同，我國在計算領域的更多方向將處于“并跑”或“領跑”狀態，有必要將“計算”這樣的重要概念中國化，繼而將中國的計算概念世界化，培育面向世界的具有中國特色的計算文化，以彰顯中國傳統文化精華的真理性和卓越性，從而更好地將重要概念沉淀到民族的文化基因中，更好地促進原始創新。
計算概念的譜系
中國古代數學為算法設計提供了示范。《九章算術》具有道具製作很高的實用性，其中給出了田地面積的計算方法“方田術”、糧食交易或兌換的計算方法“粟米術”、按比例分配的計算方法“AR擴增實境衰分術”、由面積或體積求邊長的計算方法“少廣術”、土石工程中各種立體圖形體積的計算方法“商功術”、攤派賦稅徭役的計算方法“均輸術”、盈虧問題的計算方法“盈不足術”、線性方程組的求解方法“大圖輸出方程術”、直角三角形三邊互求的計算方法“勾股術”等實際問題的算法。雖然沒有公理化、形式化，但其真理性、原創性毋庸置疑。例如，其第九章提到，“勾股術曰：勾股各自乘，并，而開方除之，即弦。又股自乘，以道具製作減弦自乘，其余開方除之，即勾。又勾自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即股”。這是勾股定理的完整表述，符號化并翻譯成現代漢語即為：設直角三角形三邊分別是 a、b、c，其中 a、b 為直角邊（勾、股），c 為斜邊（弦），則 c=√a2+b2，a=√a2—b2，b=√c2—a2。顯然，這里考慮了一般情況，公式對所有的直角三角形均成立。在西方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅求得了這個公式的幾種特殊情況，直到公元 3 世紀，丟番圖才取得相近結果。
我國古代曾經產生的深刻哲學思想和技術思想，可被用于審視當代的計算技術現狀，推動完善計算概念體系。例如，祖沖之在公元 5 世紀將圓周率估算到小數點后 7 位，直到 16 世紀，阿拉伯數學家阿爾 · 卡西才打破這一紀錄；西周數學家商高在公元前 11 世紀提出了勾股定理，早于希臘數學家畢達哥拉斯 500 多年。萊布尼茨創立了二進位制，他于 1703 年在法國《皇家科學院院刊》發表的《論只使用符號 0 和 1 的二進制算術兼論其用途及它賦予伏羲所使用的古老圖形的意義》中，確認中國人在 3 000 年前的《易經》六十四卦里就藏匿了二進位制的奧秘。這些史實說明中國古代曾在數學和自然科學領域有重要發現或創造，也提示中國傳統文化中有許多值得挖掘的重要思想或方法，中華文明探源工程具有重要意義。
我國古代的哲學思想有助于我們深入理解計算概念的內涵、重新梳理建立計算概念的體系。社會的運行與治理的過程，本身類似于計算的過程，具有并發、秩序等屬性，因此古代先賢的社會思想有可能被借鑒于計算技術舞臺背板領域。馮友蘭在《中國哲學簡史》中對中國古代哲學思想進行了系統的歸納梳理，其中在第 14 章有這樣的總括性表述：“西周封建社會根據兩條原則辦事，一條是‘禮’，一條是‘刑’。禮是不成文法典，以褒貶來控制‘君子’即貴族的行為。刑則不然，它只適用于‘庶人’，即平民。所以《禮記》中說的：‘禮不下庶人，刑不上大夫。’”這里實現了二分類，其中“刑”是法家的研究對象，又可以一分為三；馮友蘭進而指出，“韓非是法家最后的也是最大的理論家，在他之前，法家已經有三派，各有自己的思想路線。一派以慎到為首，慎到與孟子同時，他以‘勢’為政治和治術的最重要的因素；一派以申不害為首，強調‘術’是最重要的因素；一派以商鞅為首，最重視‘法’。‘勢’指權力、權威，‘法’指法律、法制，‘術’指辦事、用人的方法和藝術，也就是政治手腕”。韓非認為，“這三者都是不可缺少的”。
與上述歷史思想相對應（表 1），計算概念可以細分為多個組分，分別是算勢（computational potential）、算力（computat包裝盒ional power）、算術（computational arithmetic）、算法（computational algorithm）、算禮（computational ritual），它們構成了計算概念的譜系。通過這個譜系，能夠深刻地、全面地理解和把握計算概念內涵本身所具有的各個方面及其相互關系。這 5 個組分中，算禮具有鮮明的中國文化特點，算勢與算力做了區分，算法與算術做了區分；這些區分能夠清晰地反映計算技術領域的痛點，有助于討論解決這些痛點對應的挑戰性問題。
算勢
算勢是某種理想狀態或條件下最大的潛在計算能力，不同數量級的算勢所能求解的問題復雜度也有數量級的差異。作為法家“勢”派的代表，“慎子曰：飛龍乘云，騰蛇游霧，云罷霧霽，而龍蛇與蚓蟻同矣，則失其所乘也”。意思是，法家“勢”派的代表人物慎到說：飛龍乘云飛行，騰蛇乘霧游動，然而一旦云開霧散，它們未免就跟蚯蚓、螞蟻一樣了，因為它們失去了騰空飛行的憑借。待求解問題與計算能力之間的關系，就像飛龍與云彩之間的關系一樣。
算勢是社會生產力的一個重要指標，足夠的算勢是應用程序或計算任務能夠運行的基礎。據《2020 全球計算力指數評估報告》顯示，計算力指數平均每提高 1 個百分點，數字經濟和國內生產總值（GDP）將分別增長 0.33% 和 0.18%。2016 年，谷歌旗下 DeepMind 公司研發的人工智能機器人阿爾法圍棋（AlphaGo）橫空出世，擊敗了世界著名圍棋棋手李世石，技驚四座。但不能忽視的是，訓活動佈置練 AlphaGo 花費了約 3 500 萬美元的計算資源。2018 年，谷歌提出 3 億參數的雙向語言表征模型（BERT），將自然語言處理推向了一個前所未有的新高度，但仍然是以足夠的計算能力作為基礎。
每一個量級的算勢對應一個可求解的問題域（以下簡稱“可解域”）；隨著算勢增大，可解域也在增大（圖 1）。對于算勢 A 和算勢 B，它們對應的可解域分別是 QA 和 QB ，若 A<B，則（QB—QA）所包括的是算勢 B 能夠求解而算勢 A 不能夠求解的問題。（QB—QA）體現了算勢增加對求解某些問題所具有的不可替代的使能作用。算勢的單位是隨應用程序而變化的。例如：對浮點操作密集型應用程序來說，算勢的單位是“浮點操作數每秒”（FLOPS）；對于事務處理密集型應用程序來說，算勢的單位是“事務數每秒”（TPS）。
算勢是因時因地而變的——每個時代有自己的算勢，每個國家或地區有自己的算勢。2022 年我國提出并開始實施“東數西算”工程，該工程與“西氣東輸”“西電東送”“南水北調”等一樣都是資源跨域調配戰略工程。針對我國東、西部算勢分布總體呈現出“東部不足、西部過剩”的不平衡局面，引導中西部利用能源優勢建設計算基礎設施——“數據向西，算力向東”，服務東部沿海等算力緊缺區域，以解決我國東西部算勢分布不均衡、供需不平衡的問題。
算勢的概念可以促進我們理解經典串行計算、經典并行計算、量子計算之間的聯系和區別：經典并行計算（或超級計算）相對于串行計算，是為了增加算勢；量子計算相對于經典計算，也是為了增加算勢。夏培肅院士畢生后投身于研制高性能經典計算機的實踐，她的丈夫楊立銘院士畢生從事理論物理的研究，先后培養了曾瑾言、錢伯初等量子力學教育家。他們無論是做參展工程實踐，還是做理論研究，無論是做經典計算機，還是做量子計算機，從根本上說都是為了增加算勢。需要指出，一方面，經典并行計算、量子計算能極大地提高算勢；包裝設計另一方面，1936 年互動裝置圖靈研究判定性問題時所提出的圖靈機模型是串行的。但經典并行計算、量子計算不會改變問題的不可求解性；也就是說，如果一個問題在串行圖靈機上是不可求解的，那么通過經典并行計算、量子計算仍然不可解（圖 1）。
算力
算力是應用程序所能實際獲得的計算能力，其上界是算勢，來源于算勢，受限于算勢，但不等同于算勢；如何彌合兩者之間的鴻溝，實現從算勢到算力的高效轉化，攤位設計是包括計算機系統結構和系統軟件在內的整個計算機學科需要研究解決的核心問題。算勢轉化為算力的過程依賴很多條件或因素，如應用程序的特征、運行環境的特征、多處理器之間負載是否均衡等。一方面，要注意算勢的基本限制作用，盡量提高算勢；另一方面，要注意算勢向算力的充分轉化，盡量充分利用算勢。這 2 個方面目標一致，不可偏廢。
各種類型的計算機都存在算勢向算力轉化不充分的問題（表 2）。例如，在超級計算機上，普通用戶的很多程序往往效率較低。2022 年圖靈獎得主杰克·唐加拉參與編制的線性系統軟件包（LINPACK）成為評測超級計算機的工具，但該工具只代表較為理想的情況，因為其中包含良好的局部性、易開發的并行性特點的大量稠密矩陣計算。基準測試程序（HPCG）則代表了大量實際應用中常出現的不易擴展和開發局部性的稀疏計算和訪存模式。測試基準 Graph500 代表了數據密集型應用的情況。戈登 · 貝爾（Gordon Bell）獎應用則代表了算法優化所能帶來的效率提升。
算術
算術是關于數值的算法，是狹義的算法，也是最基本、最顧名思義的算法。算術強調四則運算、開方、乘方等計算的技巧。例如，馮 · 諾伊曼在 1945 年的 EDVAC 研制報告中就用了多個章節分別討論了這些方面，以及中國乘法和印度乘法就使用了不同的技巧。以 2 位數和 3 位數乘法為例，中國乘法建立在逐位相乘的基礎上（圖 2）；印度乘法建立在求差值的基礎上，將對角線上的數字之和作為結果的高位，AR擴增實境將差值的乘積作為結果的低位（圖 3）。從中可以直觀地感受到中國乘法和印度乘法使用了不同的技巧。
算法
算法是廣義的計算方法，包括數值算法、非數值算法，強調計算的機械的規則。模型吳文俊等創立和發展了數學機械化。只有機械化，才能由計算機自動去執行。幾何定理的證明分為 2 個步驟：①幾何的代數化與坐標化。從幾何的公理系統出發，引進數系統與坐標系統，使得任意幾何定理的證明問題成為代數問題。②幾何的機械化。將幾何定理假設部分的代數關系式進行整理，然后按照確定步驟（編寫為程序）驗證定理終結部分的代數關系式是否可以從假設部分已整理活動佈置成序的代數關系式推出。
盡管算法是由人腦設計，但人腦本身不善于執行機械的規則；同時，大量的問題往往通過機械的規則（即通過算法而不是巧思）更容易解決。人腦善于巧思，但不善于反復枯燥的操作，這可能與人腦本身所具有的多巴胺等物質比較稀缺，以及獨特的獎勵懲罰機制有關。以幾何為例來說明，幾何分為綜合幾何和解析幾何。綜合幾何就是我國初中所教授的幾何，其解題往往需要觀察、“巧妙”地添加輔助線，也就是需要人腦的巧思。借助圖形的直觀形象，以一些基本名詞（如點、直線、平面等）和關系（如銜接、順序、相似等），滿足一套公理或公設，經過一定的邏輯推理，導出一系列的定理的研究方法，被稱為古典公理法或綜合法，而用這種方法所研究的幾何被稱為綜合幾何。綜合幾何與 17 世紀笛卡爾創立的解析幾何相對。吳文俊指出，綜合幾何盡管直觀生動，但使用范圍“頗為有限”，相反解析幾何應用范圍很廣。
算法強調 2 個方面，且需要具備 5 個特征。2 個方面為：①功能——能否計算；②性能——能以多快的速度計算。5 個特征為：①有窮性（finiteness）——必須在有限的步驟內終止；②確定性（definiteness）——每一步驟必須被精確地、嚴格地定義，不能有歧義性；③輸記者會入（input）——有0個或多個輸入；④輸出（output）——至少有 1 個輸出；⑤能行性（effectiveness）——所涉及的操作必須足夠基本，以致操作在原理上能被人用鉛筆和紙在有限的時間內完成。
以上 5 個特征之中的能行性涉及一個內容深刻的重要學科方向——可計算性理論。可計算性理論是很多計算機從業者較為欠缺的。可計算性理論有很多結論是與沒有經過這方面訓練的人的直覺相反的，這樣的結論實例有：①可計算的本質是遞歸；②算法的數量是可數的（而實數的數量是不可數的）；③不存在一般過程能夠在有限步內判定一個計算過程是否是算法。一個給定的問題是否存在對應的算法，是一個關于“是否可解”的問題。如果存在 TC:08designfollow